Question

【题目】如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=PC=2,AB=PA=PB=2.

(1)证明：PC⊥平面ABC；

（2）若点D在棱AC上，且二面角D-PB-C为30°，求PD与平面PAB所成角的正弦值。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）易证得，，从而得证；

（2）易知，，两两垂直，从而可建立空间直角坐标系，设，通过计算平面的法向量和平面的法向量，利用二面角的余弦值建立方程可得，再空间向量计算线面角的正弦值即可.

（1）证明：，，

则，，

所以，，

又因为，平面，平面，

所以平面．

（2）解：，则，即，，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，则，

，，

设，

则 ，，，

平面的法向量 ，

设平面的法向量，

则令，可得．

，解得，

则，平面的法向量，

设与平面的所成角为，则，

所以所求角的正弦值为.