题目内容
【题目】如图,正方形与梯形所在的平面互相垂直, ,,点在线段上.
(Ⅰ) 若点为的中点,求证:平面;
(Ⅱ) 求证:平面平面;
(Ⅲ) 当平面与平面所成二面角的余弦值为时,求的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).
【解析】
(1)建立空间直角坐标系,利用空间向量的结论可证得BM⊥平面ADEF的法向量,从而可证得线面平行;
(2)分别求得平面,平面的法向量,由法向量的数量积为0可证得面面垂直;
(3)设,由题意可得点M的坐标,分别求得两个半平面的法向量,由二面角的余弦值得到关于的方程,解方程求得的值即可确定的长.
(1)∵正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD为交线,
∴ED⊥平面ABCD,由已知得DA,DE,DC两两垂直,
如图建系D-xyz,可得D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),E(0,0,1),F(1,0,1).
由M为C的中点,知,故.
易知平面ADEF的法向量为,
,
∵BM平面ADEF,∴BM//平面ADEF.
(2)由(1)知,
设平面BDE的法向量为,
平面BEC的法向量为,
由得,
由得,
,故平面BDE⊥平面BEC.
(3)设,设,计算可得,
则,
设平面BDM的法向量为,
由得,
易知平面ABF的法向量为,
由已知得 ,
解得,此时,
,则,即AM的长为.
练习册系列答案
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