题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
是正方形,侧面
底面
,
,
分别为
,
中点,
.
(Ⅰ)求证:∥平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在棱上是否存在一点
,使
平面
?若存在,指出点
的位置;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)详见解析,(Ⅱ)(Ⅲ)不存在.
【解析】
试题(Ⅰ)证明线面平行,关键在于找出线线平行.本题条件含中点,故从中位线上找线线平行.,
分别为
,
中点,在△
中,
是
中点,
是
中点,所以
∥
.又因为
平面
,
平面
,所以
∥平面
.(Ⅱ)求二面角的大小,有两个思路,一是作出二面角的平面角,这要用到三垂线定理及其逆定理,利用侧面
底面
,可得底面
的垂线,再作DF的垂线,就可得二面角的平面角,二是利用空间向量求出大小.首先建立空间坐标系. 取
中点
.由侧面
底面
易得
面
.以
为原点,
分别为
轴建立空间直角坐标系.再利用两平面法向量的夹角与二面角的平面角的关系,求出结果,(Ⅲ)存在性问题,一般从假设存在出发,构造等量关系,将存在是否转化为方程是否有解.
证明:(Ⅰ)如图,连结.
因为底面是正方形,
所以与
互相平分.
又因为是
中点,
所以是
中点.
在△中,
是
中点,
是
中点,
所以∥
.
又因为平面
,
平面
,
所以∥平面
. 4分
(Ⅱ)取中点
.在△
中,因为
,
所以.
因为面底面
,
且面面
,
所以面
.
因为
平面
所以.
又因为是
中点,
所以
.
如图,以为原点,
分别为
轴建立空间直角坐标系.
因为,所以
,则
,
,
,
,
,
,
,
.
于是,
,
.
因为面
,所以
是平面
的一个法向量.
设平面的一个法向量是
.
因为所以
即
令则
.
所以.
由图可知,二面角为锐角,所以二面角
的余弦值为
. 10分
(Ⅲ)假设在棱上存在一点
,使
面
.设
,
则. 由(Ⅱ)可知平面
的一个法向量是
.
因为面
,所以
.
于是,,即
.
又因为点在棱
上,所以
与
共线.
因为,
,
所以.
所以,无解.
故在棱上不存在一点
,使
面
成立. 14分
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