题目内容
【题目】已知函数,曲线
在点
处的切线与
轴平行.函数
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求证:函数共有两个零点,一个零点是
,另一个零点
在区间
内;
(Ⅲ)求证:存在,当
时,
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
;(Ⅲ)见解析.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由题意可得,利用导函数研究函数的切线可知
,则
.
(Ⅱ)由题意可得,且
,
,
,据此可得
存在两个零点,且一个零点为
,第二个零点在区间
内.
(Ⅲ)由题意可得,结合(Ⅱ)的结论可知函数在
上单调递增,且
,则函数在
上单调递增,则存在
,当
时,
.
试题解析:
(Ⅰ),
,解得
.
(Ⅱ),令
得到
.
极小值 |
,
,
,所以
存在两个零点,且一个零点为
,
,
,
所以第二个零点在区间
内.
(Ⅲ)证明: ,
令可得
极大值 | 极小值 |
而,函数在
上单调递增,
所以当,
恒成立,
所以存在,当
时,
.
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练习册系列答案
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以上述试验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率.
(1)现从大量的A,B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品,求恰有两件是优质品的概率;
(2)已知A型节能灯的生产厂家对使用时间小于6千小时的节能灯实行“三包”.通过多年统计发现,A型节能灯每件产品的利润y(单位:元)与其使用时间t(单位:千小时)的关系如下表:
使用时间t(单位:千小时) | t<4 | 4≤t<6 | t≥6 |
每件产品的利润y(单位:元) | -10 | 10 | 20 |
若从大量的A型节能灯中随机抽取两件,其利润之和记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.