题目内容
【题目】如图,三棱台的底面是正三角形,平面
平面
,
.
(1)求证:;
(2)若,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)取的中点为
,连结
,易证四边形
为平行四边形,即
,由于
,
为
的中点,可得到
,从而得到
,即可证明
平面
,从而得到
;(Ⅱ)易证
,
,
两两垂直,以
,
,
分别为
,
,
轴,建立如图所示的空间直角坐标系
,求出平面
的一个法向量为
,设
与平面
所成角为
,则
,即可得到答案。
解:(Ⅰ)取的中点为
,连结
.
由是三棱台得,平面
平面
,从而
.
∵,∴
,
∴四边形为平行四边形,∴
.
∵,
为
的中点,
∴,∴
.
∵平面平面
,且交线为
,
平面
,
∴平面
,而
平面
,
∴.
(Ⅱ)连结.
由是正三角形,且
为中点,则
.
由(Ⅰ)知,平面
,
,
∴,
,
∴,
,
两两垂直.
以,
,
分别为
,
,
轴,建立如图所示的空间直角坐标系
.
设,则
,
,
,
,
∴,
,
.
设平面的一个法向量为
.
由可得,
.
令,则
,
,∴
.
设与平面
所成角为
,则
.

练习册系列答案
相关题目
【题目】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,