题目内容
【题目】如图,在等腰梯形中,
,
,
,四边形
为矩形,平面
平面
,
.
(1)求证:平面
;
(2)点在线段
上运动,设平面
与平面
所成二面角的平面角为
(
),试求
的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)在等腰梯形中由已知求出,根据余弦定理求出
,再由勾股定理可证
,结合已知平面
平面
,即可证明结论;
(2)以为坐标原点建立空间直角坐标系,设
,得到
坐标,求出平面
的法向量,
是平面
的一个法向量,利用空间向量面面角公式,求出
的关于
的关系式,由
的取值范围,即可求出结论.
(1)在梯形中,∵
,
,
,∴
,
∴,
∴,∴
.
又平面平面
,
平面平面
,
平面
,
∴平面
(2)由(1)知,可分别以,
,
所在的直线为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系,
令,则
,
,
,
,
∴,
.
设为平面
的法向量,
由,得
,
取,则
为平面
的一个法向量,
是平面
的一个法向量,
∴.
∵,∴当
时,
有最小值
,
当时,
有最大值
,∴
.
又∵
∴