题目内容

【题目】给定椭圆,称圆心在坐标原点,半径为的圆是椭圆的“伴椭圆”,若椭圆右焦点坐标为,且过点.

1)求椭圆的“伴椭圆”方程;

2)在椭圆的“伴椭圆”上取一点,过该点作椭圆的两条切线,证明:两线垂直;

3)在双曲线上找一点作椭圆的两条切线,分别交于切点使得,求满足条件的所有点的坐标.

【答案】1;(2)证明见解析;(3.

【解析】

(1) 利用联立解方程可得;

(2) 设切线方程为:,代入椭圆的方程,利用判别式等于0,可得关于斜率的一元二次方程,利用韦达定理可得斜率之积为,从而可证两条切线垂直;

(3) 设经过点与椭圆相切的直线为:,代入椭圆的方程,利用判别式为0, 可得关于斜率的一元二次方程,然后根据斜率之积为可得点的轨迹方程为,最后联立此方程与双曲线方程可解得的坐标即可.

(1)依题意可得,,所以,

又椭圆过点,所以

①②可得,

椭圆的“伴椭圆”方程为:.

(2)由(1)可得椭圆,

设切线方程为:,将其代入椭圆,消去并整理得:

,

,

,

,的斜率为,则,

所以两条切线垂直.

(3)当两条切线的斜率存在时,设经过点与椭圆相切的直线为:,

消去并整理得,,

所以,

经过化简得到:,

设两条切线的斜率分别为,

,

因为,所以,所以,

所以,

所以,

当两条切线的斜率不存在时,也满足,

所以的轨迹为椭圆的伴随圆”,其方程为:,

联立,解得,

所以,

所以满足条件的所有点的坐标为: .

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