Question

19．已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数，e为自然对数的底数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx在区间[-1，1]上是减函数．
（1）求实数a的值；
（2）若g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求实数t的取值范围；
（3）讨论关于x的方程$\frac{lnx}{f（x）}={x^2}-2ex+m$的根的个数．

Answer 1

分析 （1）利用定义法进行判断得a（e^x+e^-x+a）=0恒成立，求出a的值；
（2）利用导数，结合单调性可知g'（x）≤0恒成立，λ≤-1；要使g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，只需-λ-sin1≤t²+λt+1在λ≤-1时恒成立即可．可构造函数，看成关于λ的一次函数进行求解，进而得出λ的范围；
（3）利用构造函数法，令${f_1}（x）=\frac{lnx}{x}，{f_2}（x）={x^2}-2ex+m$，通过导函数判断函数的单调性，通过极值，单调性，模拟函数图象，利用数学结合得出m的不同分类．

解答 解：（1）∵f（x）=ln（e^x+a）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即ln（e^-x+a）=-ln（e^x+a）恒成立，
∴（e^-x+a）（e^x+a）=1，
∴1+ae^-x+ae^x+a²=1．即a（e^x+e^-x+a）=0恒成立，
故a=0…（3分）
（2）由（l）知g（x）=λf（x）+sinx，∴g'（x）=λ+cosx，x∈[-1，1]，
∴要使g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数，则有g'（x）≤0恒成立，
∴λ≤-1．又∵g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1，
∴要使g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，
只需-λ-sin1≤t²+λt+1在λ≤-1时恒成立即可．
∴（t+1）λ+t²+sin1+1≥0（其中λ≤-1）恒成立即可．
令h（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1≥0（λ≤-1），则$\left\{\begin{array}{l}t+1≤0\\ h（-1）≥0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}t+1≤0\\{t^2}-t+sin1≥0\end{array}\right.$而t²-t+sin1≥0恒成立，∴t≤-1…（7分）
（3）由（1）知方程$\frac{lnx}{f（x）}={x^2}-2ex+m$，即$\frac{lnx}{x}={x^2}-2ex+m$，
令${f_1}（x）=\frac{lnx}{x}，{f_2}（x）={x^2}-2ex+m$
∵$f{'_1}（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$
当x∈（0，e]时，f'₁（x）≥0，∴f₁（x）在（0，e]上为增函数；
当x∈[e，+∞）时，f'₁（x）≤0，∴f₁（x）在[e，+∞）上为减函数；
当x=e时，${f_1}{（x）_{max}}=\frac{1}{e}$．
而${f_2}（x）={x^2}-2ex+m={（x-e）^2}+m-{e^2}$
当x∈（0，e]时f₂（x）是减函数，当x∈[e，+∞）时，f₂（x）是增函数，
∴当x=e时，${f_2}{（x）_{min}}=m-{e^2}$．
故当$m-{e^2}＞\frac{1}{e}$，即$m＞{e^2}+\frac{1}{e}$时，方程无实根；
当$m-{e^2}=\frac{1}{e}$，即$m={e^2}+\frac{1}{e}$时，方程有一个根；
当$m-{e^2}＜\frac{1}{e}$，即$m＜{e^2}+\frac{1}{e}$时，方程有两个根．…（12分）

点评 考查了函数奇偶性的应用，导函数的应用和恒成立问题的转换，属于难度较大的题型．