Question

10．已知函数f（x）在其定义域（0，+∞），f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），当x＞1时，f（x）＞0；
（1）求f（8）的值；
（2）讨论函数f（x）在其定义域（0，+∞）上的单调性；
（3）解不等式f（x）+f（x-2）≤3．

Answer 1

分析 （1）题意知f（2×2）=f（2）+f（2）=2，f（2×4）=f（2）+f（4）=3，f[x（x-2）]＜f（8），
（2）利用函数单调性的定义即可证明f（x）在定义域上是增函数；
（3）由f（x）的定义域为（0，+∞），且在其上为增函数，将不等式进行转化即可解得答案．

解答 解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，
∴f（2×2）=f（2）+f（2）=2，
∴f（8）=f（2×4）=f（2）+f（4）=3，
（2）当x=y=1时，f（1）=f（1）+f（1），
则f（1）=0，
f（x）在（0，+∞）上是增函数
设x₁＜x₂，则
∵f（x₁）＜f（x₂），∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，则f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
又f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（x₁）+f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=f（x₂），
则f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在定义域内是增函数．
（3）由f（x）+f（x-2）≤3，
∴f（x（x-2））≤f（8）
∵函数f（x）在其定义域（0，+∞）上是增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-2＞0}\\{x（x-2）≤8}\end{array}\right.$
解得，2＜x≤4．
所以不等式f（x）+f（x-2）≤3的解集为{x|2＜x≤4}．

点评 本题主要考查抽象函数的求值，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，利用函数的单调性的应用是解决本题的关键，考查学生的运算能力．