题目内容

如图所示,已知圆C:(x+1)2+y2=8,定点A(1,0),M为圆C上一动点,点P在线段AM上,点N在线段CM上,且满足
AM
=2
AP
NP
AM
=0
,点N的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间),且满足
FG
FH
,求λ
的取值范围.
(1)设点N的坐标为(x,y),
AM
=2
AP
,∴点P为AM的中点,
NP
AM
=0,∴NP⊥AM,∴NP是线段AM的垂直平分线,∴NM=NA,
又点N在CM上,设圆的半径是 r,则 r=2
2

∴NC=r-NM,∴NC+NM=r=2
2
>AC,
∴点N的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆,
∴2a=2
2
,c=1,可求得b=1,
∴椭圆
x2
2
+y2=1
,即曲线E的方程:
x2
2
+y2=1

(2)当斜率不存在时,直线与曲线E有2个交点此时参数的值为λ=
1
3

不妨设FH斜率为k,且将原点移至F,
则直线FH方程为y=kx,椭圆方程变为
x2
2
+(y-2)2=1,
将直线方程代入椭圆得
x2
2
+(kx-2)2=1,整理得(1+2k2)x2-8kx+6=0,
直线与曲线E有二不同的交点,故△=(-8k)2-4•6(1+2k2)=16k2-24>0,即k2
3
2

因为左右对称,可以研究单侧,
当k>0时,λ=
x1
x2
=
-b-
b2-4ac
-b+
b2-4ac
即λ=
8k-
16k2-24
8k+
16k2-24
=
2-
1-
3
2k2
2+
1-
3
2k2

由k2
3
2
,即0<
3
2k2
<1
,即0<
1-
3
2k2
?
<1

令t=
1-
3
2k2
?
∈(0,1),则λ=
2-t
2+t
,t∈(0,1),
由于λ=
2-t
2+t
=
4
2+t
-1
,故函数在t∈(0,1)上是减函数,故
1
3
<λ<1

综上,参数的取值范围是
1
3
≤λ<1
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