题目内容
如图所示,已知圆C:(x+1)2+y2=8,定点A(1,0),M为圆C上一动点,点P在线段AM上,点N在线段CM上,且满足
=2
,
•
=0,点N的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间),且满足
=λ
,求λ的取值范围.
AM |
AP |
NP |
AM |
(1)求曲线E的方程;
(2)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间),且满足
FG |
FH |
(1)设点N的坐标为(x,y),
∵
=2
,∴点P为AM的中点,
∵
•
=0,∴NP⊥AM,∴NP是线段AM的垂直平分线,∴NM=NA,
又点N在CM上,设圆的半径是 r,则 r=2
,
∴NC=r-NM,∴NC+NM=r=2
>AC,
∴点N的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆,
∴2a=2
,c=1,可求得b=1,
∴椭圆
+y2=1,即曲线E的方程:
+y2=1.
(2)当斜率不存在时,直线与曲线E有2个交点此时参数的值为λ=
,
不妨设FH斜率为k,且将原点移至F,
则直线FH方程为y=kx,椭圆方程变为
+(y-2)2=1,
将直线方程代入椭圆得
+(kx-2)2=1,整理得(1+2k2)x2-8kx+6=0,
直线与曲线E有二不同的交点,故△=(-8k)2-4•6(1+2k2)=16k2-24>0,即k2>
,
因为左右对称,可以研究单侧,
当k>0时,λ=
=
即λ=
=
由k2>
,即0<
<1,即0<
<1,
令t=
∈(0,1),则λ=
,t∈(0,1),
由于λ=
=
-1,故函数在t∈(0,1)上是减函数,故
<λ<1
综上,参数的取值范围是
≤λ<1
∵
AM |
AP |
∵
NP |
AM |
又点N在CM上,设圆的半径是 r,则 r=2
2 |
∴NC=r-NM,∴NC+NM=r=2
2 |
∴点N的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆,
∴2a=2
2 |
∴椭圆
x2 |
2 |
x2 |
2 |
(2)当斜率不存在时,直线与曲线E有2个交点此时参数的值为λ=
1 |
3 |
不妨设FH斜率为k,且将原点移至F,
则直线FH方程为y=kx,椭圆方程变为
x2 |
2 |
将直线方程代入椭圆得
x2 |
2 |
直线与曲线E有二不同的交点,故△=(-8k)2-4•6(1+2k2)=16k2-24>0,即k2>
3 |
2 |
因为左右对称,可以研究单侧,
当k>0时,λ=
x1 |
x2 |
-b-
| ||
-b+
|
8k-
| ||
8k+
|
2-
| ||||
2+
|
由k2>
3 |
2 |
3 |
2k2 |
1-
|
令t=
1-
|
2-t |
2+t |
由于λ=
2-t |
2+t |
4 |
2+t |
1 |
3 |
综上,参数的取值范围是
1 |
3 |
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