题目内容

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
2
2
，左焦点为F，过原点的直线l交椭圆于M，N两点，△FMN面积的最大值为1．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设P，A，B是椭圆E上异于顶点的三点，Q（m，n）是单位圆x2+y2=1上任一点，使
OP
=m
OA
+n
OB
．
①求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；
②求OA2+OB2的值．
（1）由椭圆的离心率为
2
2
，得
c
a
=
2
2
①，
又△FMN面积S=
1
2
×c×|yM-yN|=c|yM|≤cb，所以cb=1②，
由①②及a2=b2+c2可解得：a2=2，b2=c2=1，
故椭圆E的方程是
x2
2
+y2=1．
（2）①设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），
则
x21
2
+
y21
=1③，
x22
2
+
y22
=1④，
又m2+n2=1⑤，
因
OP
=m
OA
+n
OB
，故
x=mx1+nx2
y=my1+ny2.

因P在椭圆上，故
(mx1+nx2)2
2
+(my1+ny2)2=1．
整理得(
x21
2
+
y21
)m2+(
x22
2
+
y22
)n2+2(
x1x2
2
+y1y2)mn=1．
将③④⑤代入上式，并注意点Q（m，n）的任意性，得：
x1x2
2
+y1y2=0．
所以，kOAkOB=
y1y2
x1x2
=-
1
2
为定值．
②(y1y2)2=(-
x1x2
2
)2=
x21
2
•
x22
2
=(1-
y21
)(1-
y22
)=1-(
y21
+
y22
)+
y21
y22
，
故
y21
+
y22
=1．
又(
x21
2
+
y21
)+(
x22
2
+
y22
)=2，故
x21
+
x22
=2．所以OA2+OB2=
x21
+
y21
+
x22
+
y22
=3．
练习册系列答案
相关题目
已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（　　）
A．18B．24C．36D．48
已知直线l与椭圆C：
x2
3
+
y2
2
=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=
6
2
，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）证明x12+x22和y12+y22均为定值；
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求|OM|•|PQ|的最大值；
（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
6
2
？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．
如图所示，已知圆C：（x+1）2+y2=8，定点A（1，0），M为圆C上一动点，点P在线段AM上，点N在线段CM上，且满足
AM
=2
AP
，
NP
•
AM
=0，点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足
FG
=λ
FH
，求λ的取值范围．
在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2
2
的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．椭圆
x2
a2
+
y2
9
=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
已知椭C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，椭圆的短轴端点与双曲线
y2
2
-x2=1的焦点重合，过P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭C的方程；
（Ⅱ）求
OA
•
OB
的取值范围．
过抛物线y2=4x的焦点所作直线中，被抛物线截得弦长为8的直线有（　　）
A．1条B．2条C．3条D．不确定
如图，椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求
|PQ|
|ST|
的最大值及取得最大值时m的值．
已知椭圆的方程为：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，其中a2=4c，直线l：3x-2y=0与椭圆的交点在x轴上的射影恰为椭圆的焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆在x轴上方的一个交点为P，F是椭圆的右焦点，试探究以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系．

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