题目内容

直线y=kx与双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
的左右两支都有交点的充要条件是k∈(-1,1),且该双曲线与直线y=
1
2
x-
3
2
相交所得弦长为
4
15
3
,则该双曲线方程为______.
∵直线y=kx与双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
的左右两支都有交点的充要条件是k∈(-1,1),
b
a
=1

设双曲线的方程为x2-y2=m.
联立
x-2y-3=0
x2-y2=m
,化为3y2+12y+9-m=0.
∵直线与双曲线有两个交点,∴△=122-12(9-m)>0,解得m>-3.
∴y1+y2=-4,y1y2=3-
m
3

(1+4)[(y1+y2)2-4y1y2]
=
5[42-4×(3-
m
3
)]
=
4
15
3

化为m=1.满足△>0.
因此双曲线的方程为:x2-y2=1.
故答案为:x2-y2=1.
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