Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=BB₁，点D是BC的中点．
（I）求证：A₁C₁∥平面AB₁C；
（Ⅱ）求证：△AB₁D为直角三角形；
（Ⅲ）若三棱锥B₁-ACD的体积为

3

3

，求棱BB₁的长．

Answer 1

证明：（I）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁∥AC
又∵A₁C₁?平面AB₁C，AC?平面AB₁C；
∴A₁C₁∥平面AB₁C；
（Ⅱ）∵△ABC为等边三角形
∴AD⊥BC，
又∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC⊥侧面BC₁，
∴AD⊥侧面BC₁，
又∵B₁D?侧面BC₁，
∴AD⊥B₁D
即：△AB₁D为直角三角形；
（Ⅲ）设棱BB₁的长为X
则正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中所有棱长全为X
则S△B1CD=

1

4

X2，AD=

3

2

X
则三棱锥B₁-ACD的体积V=

1

3

•S△B1CD•AD=

3

24

X3=

3

3

，
解得X=2
即棱BB₁的长为2