Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=（m-1）•2ⁿ+1，则m=0是数列{a_n}为等比数列的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充分必要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 由等比数列的性质和充要条件的证明可得．

解答 解：当m=0时，S_n=-2ⁿ+1，当n=1时，a₁=S₁=-1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-2ⁿ+2^n-1=-2^n-1，
经验证当n=1时，上式也成立，
∴a_n=-2^n-1，为等比数列；
当数列{a_n}为等比数列时，
当n=1时，a₁=S₁=2m-1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（m-1）2ⁿ-（m-1）2^n-1=（m-1）2^n-1，
由等比数列可得2m-1=（m-1）2^1-1，解得m=0
故m=0是数列{a_n}为等比数列的充分必要条件．
故选：C．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式，涉及充要条件的证明，属中档题．