Question

【题目】已知函数（为自然对数的底数）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）记函数的导函数，当且时，证明：.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；在上单调递减；（2）证明见解析.

【解析】分析：（1）先求导，再对m分类讨论，求函数f(x)的单调性.(2)先把问题等价转化，，再构造函数设函数求即得证.

详解：（1）的定义域为，

①当时，；

②当时，令，得，令，得，

综上所述：当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增；在上单调递减.

（2）当时，，

设函数，则，记，，

则，当变化时，的变化情况如下表：

	-	0	+
	单调递减	极小值	单调递增

由上表可知而，

由，知，所以，所以，即，

所以在内为单调递增函数，所以当时，

即当且时，，

所以当且时，总有.