题目内容
【题目】已知椭圆上两个不同的点、关于直线对称.
(1)若已知,为椭圆上动点,证明:;
(2)求实数的取值范围;
(3)求面积的最大值(为坐标原点).
【答案】(1)证明见解析;(2);(3).
【解析】
(1)设点,则有,代入椭圆的方程得出,然后利用两点间的距离公式和二次函数的基本性质可求出的最大值,从而证明;
(2)由、关于直线对称,可得出直线与直线,从而可得出直线的斜率为,设直线的方程为,设点、,将直线的方程与椭圆方程联立,得出,并列出韦达定理,求出线段的中点,再由点在直线上列出不等式,结合可求出的取值范围;
(3)令,可得出直线的方程为,利用韦达定理结合弦长公式计算出,利用点到直线的距离公式计算出的高的表达式,然后利用三角形的面积公式得出面积的表达式,利用基本不等式可求出面积的最大值.
(1)设,则,得,于是
因,所以当时,,即;
(2)由题意知,可设直线的方程为.
由消去,得.
因为直线与椭圆有两个不同的交点,
所以,,即,①
由韦达定理得,,
,所以,线段的中点.
将中点代入直线方程,解得②,
将②代入①得,化简得.
解得或,因此,实数的取值范围是;
(3)令,即,且.
则,,
则,
且到直线的距离为,
设的面积为,所以,
当且仅当时,等号成立,故面积的最大值为.
【题目】私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活中我们应该提倡低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出一份力.为此,很多城市实施了机动车车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了人,将调查情况进行整理后制成下表:
年龄(岁) | ||||||
频数 | ||||||
赞成人数 |
()完成被调查人员的频率分布直方图.
()若从年龄在,的被调查者中各随机选取人进行追踪调查,求恰有人不赞成的概率.
()在在条件下,再记选中的人中不赞成“车辆限行”的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.