Question

【题目】设抛物线的方程为，其中常数，是抛物线的焦点.

（1）若直线被抛物线所截得的弦长为6，求的值；

（2）设是点关于顶点的对称点，是抛物线上的动点，求的最大值；

（3）设，、是两条互相垂直，且均经过点的直线，与抛物线交于点、，与抛物线交于点、，若点满足，求点的轨迹方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）当时，代入抛物线方程，求得，可得弦长，解方程可得；

（2）求得的坐标，设出过的直线为，，联立抛物线方程，若要使取到最大值，则直线和抛物线相切，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；

（3）求得，设，，，，，，，，，设，联立抛物线方程，运用韦达定理和两直线垂直斜率之积为-1的条件，结合向量的坐标表示，和消元法，可求得轨迹方程

（1）由可得，可得，解得；

（2）是点，关于顶点的对称点，可得，，

设过的直线为，，

联立抛物线方程可得，

由直线和抛物线相切可得△，解得，

可取，可得切线的倾斜角为，

由抛物线的定义可得，而的最小值为，

的最大值为；

（3）由，可得，设，，，，，，，，，

设，联立抛物线，可得，

即有，，

由两直线垂直的条件，可将换为，可得

，，

点满足，

可得，，，

即为①，

②，

联立①②式消元可得，

则的轨迹方程为