题目内容
【题目】设,命题p:函数
在
内单调递增;q:函数
仅在
处有极值.
(1)若命题q是真命题,求a的取值范围;
(2)若命题是真命题,求a的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)函数仅在
处有极值,则
在
左右两侧导数符号相反,可得
恒成立,转化为求解二次不等式的恒成立问题;(2)当p是真命题时,利用复合函数“同增异减”研究
的单调性问题,求出相应a的范围,又
是真命题,则
至少有一个是真命题,所以取p是真命题时a的取值集合与
是真命题时a的取值集合的并集即可.
(1)由题意知,,显然
不是方程
的根,
为使仅在
处有极值,必须
恒成立,即
,
解不等式,得,这时
是唯一极值,
因此满足条件的a的取值范围是.
(2)当p是真命题时,对
恒成立,则
,记
,则
当时,要使得
是增函数,则需有
对
恒成立,所以
,与
矛盾;
当时,要使得
是增函数,则需有
对
恒成立,所以
,所以
.
记当p是真命题时a的取值集合为A,则;
记当是真命题时a的取值集合为B,则
.
因为是真命题,
所以a的取值范围是.
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