Question

19．已知函数f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-1，x∈R．
（1）求f（$\frac{π}{3}$）的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），代入x=$\frac{π}{3}$，利用特殊角的三角函数值即可得解．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）∵f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-1=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x-1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（$\frac{π}{3}$）=2sin（2×$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$）=2sin$\frac{5π}{6}$=2sin$\frac{π}{6}$=1．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
解得函数f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质的应用，属于基本知识的考查．