Question

【题目】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为3 ，直线 与抛物线 交于 ， 两点， 为坐标原点。

(1)求抛物线的方程；

(2)求的面积.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由题意可设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），运用抛物线的定义，可得23，解得p＝2，进而得到抛物线的方程；

（2）由题意，直线AB方程为y＝x﹣1，与y2＝4x消去y得：x2﹣6x+1＝0．再用一元二次方程根与系数的关系和弦长公式，算出|AB|；利用点到直线的距离公式算出点O到直线AB的距离，即可求出△AOB的面积

（1）抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，

且过一点P（2，m），

可设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），

P（2，m）到焦点的距离为3，

即有P到准线的距离为6，即23，

解得p＝2，

即抛物线的标准方程为y2＝4x；

（2）联立方程化简，得x2﹣6x+1＝0

设交点为A（x1，y1），B（x2，y2）

∴x1+x2＝6，x1x2＝1

可得|AB||x1﹣x2|＝8

点O到直线l的距离d，

所以△AOB的面积为S|AB|d82．