题目内容
15．已知点A，B，C是圆心为原点O半径为1的圆上的三点，∠AOB=60°，$\overrightarrow{OC}$=a$\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}$（a，b∈R），求a2+b2的最小值．分析 由 $\overrightarrow{OC}$=a$\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}$，且向量的模都是1，平方可得1=a2+b2+ab，再由基本不等式，即可求a2+b2的最小值．
解答 解：由$\overrightarrow{OC}$=a$\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}$，向量的模都是1，∠AOB=60°，
可得1=a2+b2+ab≤a2+b2+$\frac{1}{2}$（a2+b2），
∴a2+b2≥$\frac{2}{3}$，
∴a2+b2的最小值为$\frac{2}{3}$．
点评 此题是中档题．本题考查两个向量的数量积的定义以及基本不等式的应用，体现了数形结合的数学思想．
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