Question

3．已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤2．

Answer 1

分析 运用分析法证明，注意运用平方法和基本不等式，即可得证．

解答 证明：要证 $\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤2，只要证（$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$）²≤4，
即证a+b+1+2$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$•$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤4．
只要证$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$•$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤1．
也就是要证：ab+$\frac{1}{2}$（a+b）+$\frac{1}{4}$≤1，
即证ab≤$\frac{1}{4}$．
∵a＞0，b＞0，a+b=1．
∴1=a+b≥2，∴ab≤$\frac{1}{4}$，即上式成立．
故$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤2．

点评 本题考查不等式的证明，主要考查分析法证明不等式的方法，注意平方法的运用，属于中档题．