题目内容
【题目】已知函数,
(1)若函数在
上单调递增,求实数
的取值范围;
(2)设函数,证明:
是函数
有两个零点的充分条件.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
(1)根据在
上单调递增,得到
,从而得到
在
上恒成立,利用基本不等式得到
的最小值,从而得到
的范围;(2)将问题等价于“函数
有两个零点”,利用导数得到
的单调性和最小值,再利用导数求出当
时,其最小值恒小于
,从而得到
有两个零点,从而使命题得证.
(1)函数的定义域为
因为函数在
上单调递增,
所以在
上恒成立,,
即在
上恒成立,
即在
上恒成立,
因为
当且仅当,即
时,等号成立,
所以最小值为
所以
所以.
(2)由题意知,
“函数有两个零点”等价于“方程
两个根”,
由于,也等价于“函数
有两个零点”
则
当时,令
得
,令
得
,
即函数的单调递增区间为
,单调递减区间为
,
因此,
令,
则
当时,
所以在
上为减函数,且
,
所以,即
,
而,得
,
又,
,
故函数有两个零点
即是函数
有两个零点的充分条件.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某公司为了提高利润,从2014年至2018年每年对生产环节的改进进行投资,投资金额与年利润增长的数据如下表:
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
投资金额x(万元) | 5 | 5.5 | 6 | 6.5 | 7 |
年利润增长y(万元) | 7.5 | 8 | 9 | 10 | 11.5 |
(1)请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程;
(2)如果2020年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元,估计该公司在该年的年利润增长为多少?
参考公式:,
参考数据:
,
【题目】某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系,对该校200名高二学生平均每天体育锻炼的时间进行调查,调查结果如下表,将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”.
平均每天锻炼的时间/分钟 | ||||||
总人数 | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表;并通过计算判断,是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关?
锻炼不达标 | 锻炼达标 | 合计 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合计 |
(2)在“锻炼达标”的学生中,按男女用分层抽样方法抽出5人,进行体育锻炼体会交流,
(ⅰ)求这5人中,男生、女生各有多少人?
(ⅱ)从参加体会交流的5人中,随机选出3人作重点发言,求选出的这3人中至少有1名女生的概率.
参考公式:,其中
.
临界值表:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |