题目内容
【题目】已知函数,
.
(I)讨论函数的零点个数;
(Ⅱ)若曲线在点
处的切线经过点
,当
时,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ) 当或
时,
有一个零点;当
或
时,
有两个零点.( Ⅱ)
.
【解析】
(I)求导,对a分类讨论,根据导函数的正负研究 的单调性及最值,结合
的极限,即可求解函数零点的个数;(Ⅱ)由题意可得p>0,化简原不等式,设
,其中x∈[1,+∞),求得导数,讨论p的范围,判断单调性,即可得到所求范围.
(I)函数的定义域为
,
求导,得,
当时,
,所以
在
上单调递增,
且,所以
有一个零点;
当时,
,
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增.
,
设
,则
,
,
.
所以在
上单调递增,在
上单调递减.
,
当时,
,所以
有一个零点;
当及
时,
,且当
时,
;
当时,
,所以
有两个零点.
综上所述:当或
时,
有一个零点;
当或
时,
有两个零点.
(Ⅱ)曲线在点
处的切线为
,即
,
由题意得,解得
,
所以,
由题意知,当时,
,所以
,
从而当时,
,
由题意知,即
,其中
,
设,其中
,
设,即
,其中
,
则,其中
,
①当时,因为
,所以
是增函数,
从而当时,
,
所以是增函数,从而
.
故当时符合题意;
②当时,因为
时,
,所以
在区间
上是减函数,
从而当时,
,
所以在
上是减函数,从而
,
故当时不符合题意.
③当时,因为
时,
,所以
是减函数,
从而当时,
,
所以是减函数,从而
,
故当时不符合题意,
综上,p的取值范围是 。
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