题目内容
已知函数,,函数的图象在点处的切线平行于轴.
(1)确定与的关系;
(2)试讨论函数的单调性;
(3)证明:对任意,都有成立。
(1)(2)当时,函数在(0,1)上单调递增,在单调递减;当时,函数在单调递增,在单调递减;在上单调递增;当时,函数在上单调递增,当时,函数在上单调递增,在单调递减;在上单调递增(3)见解析
【解析】(1)依题意得,则
由函数的图象在点处的切线平行于轴得:
∴-------------------------------------3分
(2)由(1)得----------4分
∵函数的定义域为
∴当时,在上恒成立,
由得,由得,
即函数在(0,1)上单调递增,在单调递减;----------------5分
当时,令得或,
若,即时,由得或,由得,
即函数在,上单调递增,在单调递减;---------6分
若,即时,由得或,由得,
即函数在,上单调递增,在单调递减;------------7分
若,即时,在上恒有,
即函数在上单调递增, -----------------8分
综上得:当时,函数在(0,1)上单调递增,在单调递减;
当时,函数在单调递增,在单调递减;在上单调递增;
当时,函数在上单调递增,
当时,函数在上单调递增,在单调递减;在上单调递增.
(3)证法一:由(2)知当时,函数在单调递增,,即,------------11分
令,则,-------------------------------------12分
即--------14分
证法二:构造数列,使其前项和,
则当时,,-------11分
显然也满足该式,
故只需证-------------------12分
令,即证,记,
则,
在上单调递增,故,
∴成立,
即. -14分
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