题目内容
4．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b∈N*）的两个焦点F1，F2，点P是双曲线上一点，|OP|＜5，|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则双曲线的离心率为（ ）| A． | 2 | B． | 3 | C． | $\frac{5}{3}$ | D． | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ |
分析 通过等比数列的性质和双曲线的定义，余弦定理推出：|OP|2=20+3b2．利用|OP|＜5，b∈N，求出b的值，求出c，再由离心率公式计算即可得到．
解答 解：由题意，|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比数列，
可知，|F1F2|2=|PF1||PF2|，
即4c2=|PF1||PF2|，
由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=4，即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16，
可得|PF1|2+|PF2|2-8c2=16…①
设∠POF1=θ，则∠POF2=π-θ，
由余弦定理可得：|PF2|2=c2+|OP|2-2|OF2||OP|cos（π-θ），
|PF1|2=c2+|OP|2-2|OF1||OP|cosθ，
|PF2|2+PF1|2=2c2+2|OP|2，…②，
由①②化简得：|OP|2=8+3c2=20+3b2．
因为|OP|＜5，b∈N，所以20+3b2＜25．
所以b=1．
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：D．
点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，余弦定理以及等比数列的应用，是一道综合问题，考查分析问题解决问题的能力．
练习册系列答案
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19．
一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为$\frac{π}{2}$的扇形，则该几何体的侧面积为（ ）
一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为$\frac{π}{2}$的扇形，则该几何体的侧面积为（ ）| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | 1+$\frac{π}{4}$ | C． | 1+$\frac{\sqrt{2}π}{4}$ | D． | 1+$\frac{π}{4}$+$\frac{\sqrt{2}π}{4}$ |
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