题目内容
【题目】已知项数为的数列满足条件:①;②;若数列满足,则称为数列的“关联数列.
(1)数列1,5,9,13,17是否存在“关联数列”?若存在,写出其“关联数列”,若不存在,请说明理由;
(2)若数列存在“关联数列”,证明:;
(3)已知数列存在“关联数列”,且,,求数列项数m的最小值与最大值.
【答案】(1)存在关联数列:,10,9,8,7,理由见详解;(2)证明见详解;(3)m的最小值与最大值分别为和.
【解析】
(1)根据“关联数列”定义求解判断.
(2)根据“关联数列”定义结合数列的单调性讨论即可.
(3)根据数列和求“关联数列”的项的特征结合单调性分析出,根据 求解.
(1)因为,
所以数列1,5,9,13,17存在“关联数列”,10,9,8,7.
(2)因为数列存在“关联数列”,
所以,
所以,
所以为递减数列,
又因为,所以,
所以,
所以;
(3)因为数列存在“关联数列”,
所以任意,,
因为,
所以,
,
由(2)知,
又,
所以,
解得,因为,
所以,
所以m的最小值与最大值分别为和.
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