题目内容

【题目】如图,在四棱柱中,平面,底面是矩形,为棱的中点.

1)求直线与平面所成角的正弦值;

2)求二面角的余弦值.

【答案】12

【解析】

1)建立空间直角坐标系,算出和平面的法向量的坐标,然后向量夹角公式可算出答案;

2)算出平面的法向量的坐标,然后利用向量夹角公式可算出答案.

由题意知,四棱柱是直四棱柱,以为坐标原点,的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,

所以

.

1)设平面的法向量为

所以

,则,所以为平面的一个法向量,

所以直线与平面所成角的正弦值为.

2)设平面的法向量为

,则,所以为平面的一个法向量.

由图象可知,二面角为锐二面角,

所以二面角的余弦值为.

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