题目内容
【题目】如图,在四棱柱中,平面,底面是矩形,,,,为棱的中点.
(1)求直线与平面所成角的正弦值;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)建立空间直角坐标系,算出和平面的法向量的坐标,然后向量夹角公式可算出答案;
(2)算出平面的法向量的坐标,然后利用向量夹角公式可算出答案.
由题意知,四棱柱是直四棱柱,以为坐标原点,,,的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
所以,,,
,.
(1)设平面的法向量为,
所以即
令,则,所以为平面的一个法向量,
故,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
(2)设平面的法向量为,
则即
令,则,所以为平面的一个法向量.
故,
由图象可知,二面角为锐二面角,
所以二面角的余弦值为.
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