题目内容
【题目】如图，在四棱柱
中，
平面
，底面是矩形，
，
，
，
为棱
的中点.
（1）求直线
与平面
所成角的正弦值；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）建立空间直角坐标系，算出
和平面
的法向量的坐标，然后向量夹角公式可算出答案；
（2）算出平面
的法向量的坐标，然后利用向量夹角公式可算出答案.
由题意知，四棱柱
是直四棱柱，以
为坐标原点，
，
，
的方向分别为
轴、
轴、
轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
所以
，
，
，
，
.
（1）设平面的法向量为
，
所以
即
令
，则
，所以
为平面的一个法向量，
故
，
所以直线
与平面所成角的正弦值为.
（2）设平面的法向量为
，
则
即
令
，则
，所以
为平面的一个法向量.
故
，
由图象可知，二面角
为锐二面角，
所以二面角的余弦值为.
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