题目内容
【题目】已知椭圆的离心率,直线与圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线与椭圆交于不同两点,线段的中垂线为,求直线在轴上的截距的取值范围.
【答案】(1)(2)且
【解析】
(1)根据直线与圆相切和离心率可构造方程求得,进而得到椭圆标准方程;
(2)设,,与椭圆方程联立后,利用求得的范围,并得到韦达定理的形式,利用中点坐标公式表示出点坐标,从而得到方程;令可求得在轴的截距,利用函数值域的求解方法可求得结果.
(1)直线与圆相切,,解得:,
又,,
椭圆的方程为:;
(2)由题意知:直线的斜率存在且不为零,
设,,,,中点,
联立消去并整理得:,
由得:或
则,,,
,
则方程为:,即,
化简得:
令得:(或),,
当时,;当时,;
且,
综上所述:直线在轴上的截距的取值范围为且.
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