题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率
，直线
与圆
相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点
的直线
与椭圆交于不同两点
，线段的中垂线为
，求直线在
轴上的截距
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
且
【解析】
（1）根据直线与圆相切和离心率可构造方程求得
，进而得到椭圆标准方程；
（2）设
，
，与椭圆方程联立后，利用
求得
的范围，并得到韦达定理的形式，利用中点坐标公式表示出
点坐标，从而得到
方程；令
可求得在
轴的截距，利用函数值域的求解方法可求得结果.
（1）
直线
与圆
相切，
，解得：
，
又
，
，
椭圆的方程为：；
（2）由题意知：直线
的斜率存在且不为零，
设，，
，
，
中点
，
联立
消去并整理得：
，
由
得：
或
则
，
，
，
，
则方程为：
，即
，
化简得：
令得：
（或），
，
当时，
；当时，
；
且，
综上所述：直线在轴上的截距
的取值范围为且.
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