题目内容
16．已知函数f（x）=$\frac{ax+b}{{x}^{2}+c}$是定义在R上的奇函数，且当x=1时，f（x）取最大值1．（1）求出a，b，c的值并写出f（x）的解析式；
（2）若x1=$\frac{1}{2}$，xn+1=f（xn），求证：$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{（{x}_{2}-{x}_{3}）^{2}}{{x}_{2}{x}_{3}}$+…+$\frac{（{x}_{n}-{x}_{n+1}）^{2}}{{x}_{n}{x}_{n+1}}$$＜\frac{5}{16}$；
（3）若x1∈（0，1），xn+1=f（xn），试比较xn+1与xn的大小并证明．
分析 （1）利用奇函数的定义得出f（0）=0，利用求解b=0，当x=1时，f（x）取最大值1，得出$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{c}=1}\\{\frac{a}{2\sqrt{c}}=1}\end{array}\right.$求解即可．
（2）xk+1-xk=$\frac{{x}_{k}（1-{x}_{k}）（1+{x}_{k}）}{1{+x}_{k}^{2}}$=xk（1-xk）$\frac{1+{x}_{k}}{1{+x}_{k}^{2}}$利用基本不等式证明，裂项放缩$\frac{（{x}_{k}-{x}_{k+1}）^{2}}{{x}_{k}{x}_{k+1}}$（xk+1-xk））≤$\frac{\sqrt{2}+1}{8}$（$\frac{1}{{x}_{k}}$-$\frac{1}{{x}_{k+1}}$），
$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{（{x}_{2}-{x}_{3}）^{2}}{{x}_{2}{x}_{3}}$+…+$\frac{（{x}_{n}-{x}_{n+1}）^{2}}{{x}_{n}{x}_{n+1}}$$＜\frac{\sqrt{2}+1}{8}$（2-1）再放大，凑出答案$\frac{\sqrt{2}+1}{8}$（2-1）$＜\frac{\frac{3}{2}+1}{8}$=$\frac{5}{16}$；
（3）判断得出xn+1＜1，作差变形xn+1-xn=$\frac{2{x}_{n}}{{x}_{n}^{2}+1}$=$\frac{{x}_{n}（1-{x}_{n}）（1+{x}_{n}）}{{x}_{n}^{2}+1}$＞0，即可判断大小．
解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{ax+b}{{x}^{2}+c}$是定义在R上的奇函数；
∴f（0）=0，$\frac{b}{c}$=0，b=0；
∴f（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+c}$=$\frac{a}{x+\frac{c}{x}}$；
∵x$+\frac{c}{x}$≥2$\sqrt{c}$（x=$\sqrt{c}$等号成立）；
∴x=$\sqrt{c}$时，f（x）取最大值=$\frac{a}{2\sqrt{c}}$；
∵当x=1时，f（x）取最大值1；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{c}=1}\\{\frac{a}{2\sqrt{c}}=1}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{a=2}\end{array}\right.$；
∴f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$
（2）∵0＜xk＜1，
∴xk+1-xk=$\frac{{x}_{k}（1-{x}_{k}）（1+{x}_{k}）}{1{+x}_{k}^{2}}$=xk（1-xk）$\frac{1+{x}_{k}}{1{+x}_{k}^{2}}$$≤\frac{1}{4}$×$\frac{1}{1+{x}_{k}+\frac{2}{{x}_{k}+1}-2}$$≤\frac{1}{4}$$•\frac{1}{2\sqrt{2}-2}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{8}$
∴$\frac{（{x}_{k}-{x}_{k+1}）^{2}}{{x}_{k}{x}_{k+1}}$（xk+1-xk）=$\frac{（{x}_{k+1}-{x}_{k}）}{{x}_{k}{x}_{k+1}}$（xk+1-xk）≤$\frac{\sqrt{2}+1}{8}$（$\frac{1}{{x}_{k}}$-$\frac{1}{{x}_{k+1}}$）
∴$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{（{x}_{2}-{x}_{3}）^{2}}{{x}_{2}{x}_{3}}$+…+$\frac{（{x}_{n}-{x}_{n+1}）^{2}}{{x}_{n}{x}_{n+1}}$≤$\frac{\sqrt{2}+1}{8}$（$\frac{1}{{x}_{1}}$$-\frac{1}{{x}_{2}}$$+\frac{1}{{x}_{2}}$$-\frac{1}{{x}_{3}}$$+\frac{1}{{x}_{3}}$$-\frac{1}{{x}_{4}}$$+…+\frac{1}{{x}_{n}}$$-\frac{1}{{x}_{n+1}}$）
=$\frac{\sqrt{2}+1}{8}$（2-$\frac{1}{{x}_{n+1}}$）
∵x1=$\frac{1}{2}$，xn+1＞xn，
∴$\frac{1}{2}$＜xn+1＜1，∴1$＜\frac{1}{{x}_{n+1}}$＜2，
∴$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{（{x}_{2}-{x}_{3}）^{2}}{{x}_{2}{x}_{3}}$+…+$\frac{（{x}_{n}-{x}_{n+1}）^{2}}{{x}_{n}{x}_{n+1}}$$＜\frac{\sqrt{2}+1}{8}$（2-1）$＜\frac{\frac{3}{2}+1}{8}$=$\frac{5}{16}$；
（3）∵若x1=$\frac{1}{2}$，xn+1=f（xn）；
xn+1=$\frac{2{x}_{n}}{{x}_{n}^{2}+1}$，
x1∈（0，1），∴xn+1＞0，（n∈N*）
又xn+1=f（xn）≤1，且xn+1=1，则xn=1，从而x1=1，与x1∈（0，1）矛盾，
∴xn+1＜1，
xn+1-xn=$\frac{2{x}_{n}}{{x}_{n}^{2}+1}$=$\frac{{x}_{n}（1-{x}_{n}）（1+{x}_{n}）}{{x}_{n}^{2}+1}$＞0，
xn+1＞xn．
点评 本题综合考察了函数的性质，不等式的证明，充分利用放缩的方法求解证明，裂项方法变形代数式子，难度较大，属于难题．
阅读快车系列答案
| A． | 平行 | B． | 相交且垂直 | C． | 相交成60° | D． | 异面 |
把两条直线的位置关系填入结构图中的M、N、E、F中，顺序较为恰好的是（ ）①平行②垂直③相交④斜交．
| A． | ①③②④ | B． | ①②③④ | C． | ①④②③ | D． | ②①④③ |