Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx+\sqrt{3}cosx，0≤x≤π}\\{|co{s}^{2}x-si{n}^{2}x|，-π≤x＜0}\end{array}\right.$．
（1）求函数f（x）的值域与单调递增区间；
（2）若函数g（x）=f（x）-m至少有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的图象和性质即可求函数f（x）的值域与单调递增区间；
（2）若函数g（x）=f（x）-m至少有两个零点，等价为函数f（x）与y=m至少有两个交点，利用数形结合即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）当0≤x≤π时，f（x）=sinx+$\sqrt{3}cosx$=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
此时$\frac{π}{3}$≤x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{4π}{3}$，则2sin$\frac{4π}{3}$≤f（x）≤2sin$\frac{π}{2}$，
即-$\sqrt{3}$≤f（x）≤2，
当-π≤x＜0时，f（x）=|cos²x-sin²x|=|cos2x|，
则-2π≤2x＜0，则0≤f（x）≤1，
综上-$\sqrt{3}$≤f（x）≤2，即函数f（x）的值域为[-$\sqrt{3}$，2]，
当$\frac{π}{3}$≤x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，即0≤x≤$\frac{π}{6}$时，函数递增，
当-π≤x＜0时，由图象知，函数的递增区间为[$-\frac{3π}{4}$，$-\frac{π}{2}$]，[-$\frac{π}{4}$，0），
综上函数f（x）的单调递增区间为[0，$\frac{π}{6}$]，[$-\frac{3π}{4}$，$-\frac{π}{2}$]，[-$\frac{π}{4}$，0）；
（2）若函数g（x）=f（x）-m至少有两个零点，
即f（x）-m=0，至少有两个根，
即f（x）=m至少有两个根，
则函数f（x）与y=m的图象至少有两个交点，
由图象知当0≤m≤1或$\sqrt{3}$≤m＜2，
即实数m的取值范围是0≤m≤1或$\sqrt{3}$≤m＜2．

点评 本题主要考查分段函数的应用以及函数零点个数判断，利用三角函数的图象和性质以及数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．