题目内容
【题目】已知两定点,点
是平面内的动点,且
,记
的轨迹是
(1)求曲线的方程;
(2)过点引直线
交曲线
于
两点,设
,点
关于
轴的对称点为
,证明直线
过定点.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
设,根据条件列方程化简即可;(2)先探究特殊性,当点Q为椭圆的上顶
点(0,)时,直线RN过定点P(4,0).再讨论一般情形,设直线l:
点R,N,P三点共线,因此直线RN经过定点P(4,0).
(1)设,
,
,
则,
,
由于,
即,设
,
,
则,点
的轨迹是以
,
为焦点的椭圆,
故,
,
,
所以,动点的轨迹
的方程为:
.
如图所示,
先探究特殊性,当点Q为椭圆的上顶点(0,)时,直线l:
,
联立直线和椭圆方程得,
直线RN:
令y=0,得x=4,
所以直线RN过定点P(4,0).
下面证明一般情形:
设直线l:
联立,
判别式
所以
即,
设,于是,
,
又,
解得,
所以,
所以点R,N,P三点共线,因此直线RN经过定点P(4,0).
综上,直线RN经过定点P(4,0).
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