题目内容
【题目】已知是椭圆
的左、右焦点,
为坐标原点,点
在椭圆上,线段
与
轴的交点
满足
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)圆是以
为直径的圆,一直线
与圆
相切,并与椭圆交于不同的两点
、
,当
,且满足
时,求
的面积
的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)先利用平面向量共线得到是线段
的中点,再利用三角形的中位线和待定系数法进行求解;(Ⅱ)先利用直线与圆相切得到
,再联立直线和椭圆的方程,得到关于
的一元二次方程,再利用平面向量的数量积和判别式为正、三角形的面积公式得到有关表达式,再利用函数的单调性进行求解.
试题解析:(Ⅰ)因为,所以
是线段
的中点,所以
是
的中位线,又
所以
,所以
,又因为
,
解得,所以椭圆的标准方程为
.
(Ⅱ)因为直线与
相切,所以
,即
联立得
.
设
因为直线与椭圆交于不同的两点
、
,
所以,
,
,又因为
,所以
解得.
,
设,则
单调递增,
所以,即
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