题目内容
【题目】为降低空气污染，提高环境质量，政府决定对汽车尾气进行整治.某厂家生产甲、乙两种不同型号的汽车尾气净化器，为保证净化器的质量，分别从甲、乙两种型号的净化器中随机抽取100件作为样本进行产品性能质量评估，评估综合得分
都在区间
.已知评估综合得分与产品等级如下表：
根据评估综合得分，统计整理得到了甲型号的样本频数分布表和乙型号的样本频率分布直方图（图表如下）.
甲型 乙型
（Ⅰ）从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，估计这件产品为二级品的概率；
（Ⅱ）从厂家生产的乙型净化器中随机抽取3件，设随机变量
为其中二级品的个数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两种型号汽车尾气净化器的优劣情况进行比较.
【答案】（Ⅰ）0.25;（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）根据频率分布直方图求对应区间概率，即得结果，（Ⅱ）先确定随机变量，再分别求对应概率，列表的分布列，最后根据数学期望公式得结果，（Ⅲ）先确定标准，如根据三级品率进行比较或根据一级品率，再根据概率大小确定优劣.
（Ⅰ）设“从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，这件产品为二级品”为事件
由图可得
（Ⅱ）
的可能取值为
所以的分布列为
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
方法一：
方法二：服从二项分布
所以
（Ⅲ）答案不唯一，只要有数据支撑，言之有理可得分（下面给出两种参考答案）
1可根据三级品率进行比较，由图表可知甲型产品三等品概率为0，乙型三等品概率0.05.所以可以认为甲型产品的质量更好；
2可根据一级品率进行比较，由图表可知甲型产品一等品概率为0.6，乙型一等品概率为0.7.所以可以认为乙型产品的质量更好；
【题目】某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量
与尺寸x（mm）之间近似满足关系式
（b、c为大于0的常数）．按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间
内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
尺寸x（mm） | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
质量y (g) | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24 | 25.5 |
质量与尺寸的比 | 0.442 | 0.392 | 0.357 | 0.329 | 0.308 | 0.290 |
（Ⅰ）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记
为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望；
（Ⅱ）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：
|
|
|
|
75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
（ⅰ）根据所给统计量，求y关于x的回归方程；
（ⅱ）已知优等品的收益
（单位：千元）与
的关系为
，则当优等品的尺寸x为何值时，收益的预报值最大？（精确到0.1）
附：对于样本
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
，
.
