题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,离心率为
的椭圆
过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线上存在点
,且过点
的椭圆
的两条切线相互垂直,求实数
的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)根据离心率为的椭圆过点
,结合性质
,列出关于
、
、
的方程组,求出
、
即可得结果;(2)设
切线方程为
,代入椭圆方程得
,则
,化为
,利用直线
与圆
有公共点,即可得结果.
(1)由题意,解得
,又
,解得
所以椭圆C的标准方程为.
(2)①当过点的椭圆
的一条切线的斜率不存在时,另一条切线必垂直于
轴,易得
②当过点的椭圆
的切线的斜率均存在时,设
切线方程为,
代入椭圆方程得,
,
化简得:,
由此得,
设过点的椭圆
的切线的斜率分别为
,所以
.
因为两条切线相互垂直,所以,即
,
由①②知在圆
上,又点
在直线
上,
所以直线与圆
有公共点,
所以,所以
.
综上所述,的取值范围为
.
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