题目内容
【题目】在直三棱柱中,
,
,D为线段AC的中点.
(1)求证::
(2)求直线与平面
所成角的余弦值;
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2);(3)
【解析】
(1)由直三棱柱的定义可得,再根据等腰三角形性质可得
,再由线面垂直的判定可得
平面
,即可证明
.
(2)取线段的中点为
,分别取
作为
轴,
轴,
轴,建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,利用向量数量积运算求得平面BC1D的法向量,即可由线面夹角的求法求得直线
与平面
所成角的余弦值.
(3)由平面BC1D的法向量和平面的法向量,即可利用法向量法求得二面角
的余弦值.
(1)证明:由直三棱柱,可得
底面
,
∴.
∵,D为线段
的中点.
∴,又
,
∴平面
,
∴.
(2)取线段的中点为
,分别取
作为
轴,
轴,
轴,建立空间直角坐标系,如下图所示:
,
,
,
,
设平面BC1D的法向量为,
则,代入可得
,令
可得
即.
∴直线与平面
所成角的余弦值
||.
(3),
,
.
设平面的法向量为
,
则,代入可得
,令
,解得
即.
∴.
由图可知,二面角为锐二面角
∴二面角的余弦值为
.
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