题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,讨论
极值点的个数;
(2)若a,b分别为的最大零点和最小零点,当
时,证明:
.
【答案】(1)两个(2)证明见解析
【解析】
(1)求出导函数,由
,
确定单调性后再得极值点个数.
(2)先证明时,函数没有两个零点,从而
,设
,且
是两个极值点,得
,
,计算
,证明
,可缩小
范围
,
,得
,从而证得命题成立.
(1)
则,
,
,
单调递减,
,
单调递增,
,
当时,
,
,使得
,
,
时
单调递增,
时
单调递减,
有两个极值点.
综上:时,
有两个极值点:
(2)证明:由(1)可知:当时,
恒成立,且
的解为有限个,
所以在R上单调递增,又因为
所以有且只有一个零点,
所以:若函数有不止一个零点,则
当时,由(1)可知:
,
,
,
时
单调递增,
时
单调递减,
因为,所以
,
且,
,当
时,
令
在
上单调递增,又因为
为连续函数,
,
在
上单调递增,又因为
为连续函数,
所以:,即
,
又因为,所以
,
,
,
所以.
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