Question

【题目】已知函数.

（1）若在区间有最大值，求整数的所有可能取值；

（2）求证：当时， .

Answer 1

【答案】（1） ；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）在区间有最大值，即是在区间有极大值，求出，求出极大值点 ，令 ，从而可得结果；（2）等价于，只需证明即可.

试题解析：（1）f′(x)＝（x2＋x－2）ex，

当x<－2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，

当－2＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，

当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，

由题知：a＜－2＜a+5，得：－7＜a＜－2，

则a＝－6、－5、－4、－3，

当a＝－6、－5、－4，显然符合题意，

若a＝－3时，f(－2)＝5e―2，f(2)＝e2，f(－2)＜f(2)，不符合题意，舍去．

故整数a的所有可能取值－6，―5，－4．

（2）f(x)＜－3lnx＋x3+(2x2－4x)ex+7可变为(－x2＋3x－1)ex＜－3lnx＋x3+7，

令g(x)＝(－x2＋3x－1)ex，h(x)=－3lnx＋x3+7，

g′(x)＝(－x2＋x＋2)ex，

0＜x＜2时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，

当x＞2时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，

g(x)的最大值为g(2)＝e2，

h′(x)＝，当0＜x＜1时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，

当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，

h(x)的最小值为h(1)＝8＞e2，

g(x)的最大值小于h(x)的最小值，

故恒有g(x)＜h(x)，即f(x)＜－3lnx＋x3+(2x2－4x)ex+7．