题目内容

已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的离心率e=
1
2
．直线x=t（t＞0）与曲线 E交于不同的两点M，N，以线段MN 为直径作圆 C，圆心为 C．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABC的面积的最大值．
（1）∵椭圆E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的离心率e=
1
2
，
∴
a2-3
a
=
1
2
，解得a=2．
∴椭圆E的方程为
x2
4
+
y2
3
=1；
（2）依题意，圆心C（t，0）（0＜t＜2）．
由
x=t
x2
4
+
y2
3
=1
，得y2=
12-3t2
4
．
∴圆C的半径为r=
12-3t2
2
．
∵圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且圆心C到y轴的距离d=t，
∴0＜t＜
12-3t2
2
，即0＜t＜
2
21
7
．
∴弦长|AB|=2
r2-d2
=2
12-3t2
4
-t2
=
12-7t2
．
∴△ABC的面积S=
1
2
•t•
12-7t2
=
1
2
7
×(
7
t)•
12-7t2

≤
1
2
7
×
(
7
t)2+12t-7t2
2
=
3
7
7
．
当且仅当
7
t=
12-7t2
，即t=
42
7
时等号成立．
所以△ABC的面积的最大值为
3
7
7
．
练习册系列答案
相关题目
已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是____________________.
（本小题满分12分）
已知椭圆上任意一点到两焦点距离之和为4，直线为该椭圆的一条准线.
1)求椭圆C的方程；
2）设直线与椭圆C交于不同的两点且(其中为坐标原点)，求直线的斜率的取值范围.
如图，有一正方形钢板ABCD缺损一角（图中的阴影部分），边缘线OC是以直线AD为对称轴，以线段AD的中点O为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．
已知点（1，1）是椭圆
x2
4
+
y2
2
=1某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：______．
已知椭圆C的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为
3
2
，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1；
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）若A，B，C是椭圆上的三个点，O是坐标原点，当点B是椭圆C的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积．
（Ⅲ）设点p是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交椭圆C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围．
已知B（-1，1）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一点，且点B到椭圆的两个焦点距离之和为4；
（1）求椭圆方程；
（2）设A为椭圆的左顶点，直线AB交y轴于点C，过C作斜率为k的直线l交椭圆于D，E两点，若
S△CBD
S△CAE
=
1
6
，求实数k的值．
已知点B（0，1），A，C为椭圆C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）上的两点，△ABC是以B为直角顶点的直角三角形．
（1）△ABC能否为等腰三角形？若能，这样的三角形有几个？
（2）当a=2时，求线段AC的中垂线l在x轴上截距的取值范围．
若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）
A．B．2 C．D．4

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