题目内容

已知椭圆C的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为
3
2
，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1；
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）若A，B，C是椭圆上的三个点，O是坐标原点，当点B是椭圆C的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积．
（Ⅲ）设点p是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交椭圆C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围．
（I）设椭圆的标准方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）．F1（-c，0），F2（c，0）．
令x=-c，代入椭圆方程可得
c2
a2
+
y2
b2
=1，解得y=±
b2
a
．
∵过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，∴
2b2
a
=1，
由离心率为
3
2
，可得
c
a
=
3
2
．联立
2b2
a
=1
c
a
=
3
2
a2=b2+c2
，解得
a=2b=2
c=
3
．
∴椭圆的标准方程为
x2
4
+y2=1．
（II）由点B是椭圆C的右顶点，∴B（2，0）．又四边形OABC为菱形，取对角线OB的中点Q，则Q（1，0）．
把x=1，代入椭圆的方程得
1
4
+y2=1，解得y=±
3
2
．
取A(1，
3
2
)，C(1，-
3
2
)．
∴|AC|=2×
3
2
=
3
．
∴S菱形OABC=
1
2
|AC|•|OB|=
1
2
×
3
×2=
3
．
（III）由角平分线的性质可得
|PF1|
|PF2|
=
|MF1|
|F2M|
=
m+c
c-m
=
m+
3
3
-m
，
由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=4，
∴
4-|PF2|
|PF2|
=
3
+m
3
-m
，解得
2
|PF2|
=
3
3
-m
．
解得|PF2|=
2(
3
-m)
3
．
∵a-c＜|PF2|＜a+c，
∴2-
3
＜
2(
3
-m)
3
＜2+
3
，
解得-
3
2
＜m＜
3
2
，
∴m的取值范围是(-
3
2
，
3
2
)．
练习册系列答案
相关题目
（本小题满分14分）
已知椭圆的离心率为，且曲线过点
（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆内，求的取值范围.
已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的离心率e=
1
2
．直线x=t（t＞0）与曲线 E交于不同的两点M，N，以线段MN 为直径作圆 C，圆心为 C．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABC的面积的最大值．
已知抛物线C的顶点在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且准线方程为x=-1．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过抛物线C焦点的直线l交抛物线于A，B两点，如果要同时满足：①|AB|≤8；②直线l与椭圆3x2+2y2=2有公共点，试确定直线l倾斜角的取值范围．
若AB为抛物线y2=2px（p＞0）的动弦，且|AB|=a（a＞2p），则AB的中点M到y轴的最近距离是（　　）
A．
a
2
B．
p
2
C．
a+p
2
D．
a-p
2
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
2
2
，并且直线y=x+b是抛物线C2：y2=4x的一条切线．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程．
（Ⅱ）过点S(0，-
1
3
)的动直线l交椭圆C1于A、B两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在求出T的坐标；若不存在，请说明理由．
已知定点A（2，0），它与抛物线y2=x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为______．
已知离心率为
3
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞o）过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆于C不同的两点A，B．
（1）求椭圆的C方程．
（2）证明：若直线MA，MB的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2=0．
已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，直线L：2px+3y=p2－。
⑴当p为何值时，焦点F到直线L的距离最大；
⑵在第⑴题下，又若抛物线与直线L相交于A、B两点。求△ABF的面积。

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