题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
是平行四边形,
,侧面
底面
,
,
,
,
分别为
,
的中点,点
在线段
上.
(1)求证: 平面
;
(2)若直线与平面
所成的角和直线
与平面
所成的角相等,求
的值.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】试题分析:
(Ⅰ)在平行四边形中,由条件可得
,进而可得
。由侧面
底面
,得
底面
,故得
,所以可证得
平面
.(Ⅱ)先证明平面
平面
,由面面平行的性质可得
平面
.(Ⅲ)建立空间直角坐标系,通过求出平面的法向量,根据线面角的向量公式可得
。
试题解析:
(Ⅰ)证明:在平行四边形中,
∵,
,
,
∴,
∴,
∵,
分别为
,
的中点,
∴,
∴,
∵侧面底面
,且
,
∴底面
,
又底面
,
∴,
又,
平面
,
平面
,
∴平面
.
(Ⅱ)证明:∵为
的中点,
为
的中点,
∴,
又平面
,
平面
,
∴平面
,
同理平面
,
又,
平面
,
平面
,
∴平面平面
,
又平面
,
∴平面
.
(Ⅲ)解:由底面
,
,可得
,
,
两两垂直,
建立如图空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
,
所以,
,
,
设,则
,
∴,
,
易得平面的法向量
,
设平面的法向量为
,则:
由,得
,
令,得
,
∵直线与平面
所成的角和此直线与平面
所成的角相等,
∴,即
,
∴,
解得或
(舍去),
故.
点睛:用向量法确定空间中点的位置的方法
根据题意建立适当的空间直角坐标系,由条件确定有关点的坐标,运用共线向量用参数(参数的范围要事先确定)确定出未知点的坐标,根据向量的运算得到平面的法向量或直线的方向向量,根据所给的线面角(或二面角)的大小进行运算,进而求得参数的值,通过与事先确定的参数的范围进行比较,来判断参数的值是否符合题意,进而得出点是否存在的结论。
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】如图,椭圆上的点到左焦点的距离最大值是
,已知点
在椭圆上,其中
为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)过原点且斜率为的直线交椭圆于
、
两点,其中
在第一象限,它在
轴上的射影为点
,直线
交椭圆于另一点
.证明:对任意的
,点
恒在以线段
为直径的圆内.
【答案】(1).(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)根据椭圆上的点到左焦点为F的最大距离是,M(1,e)在椭圆上,建立方程组,即可求椭圆的方程;
(2)设出直线QN的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理,结合向量的数量积,即可得到结论.
试题解析:
(1)由题可知解得
∴椭圆的方程是
.
(2)令,
,则
,
,∴
,
直线的方程为
,代入
整理得
,
∴,∴
,
∴,
,
∴,
∵,
,
,
∴对任意,点
恒在以线段
为直径的圆内.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市,通过市场调查,得到该纪念章每枚的市场价
(单位:元)与上市时间
(单位:天)的数据如下:
上市时间 | |||
市场价 |
(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个恰当的函数描述辽宁号航母纪念章的市场价与上市时间
的变化关系:①
;②
;③
;
(2)利用你选取的函数,求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格;
(3)设你选取的函数为,若对任意实数
,关于
的方程
恒有个想异实数根,求
的取值范围.