题目内容
【题目】已知,函数
,
.
(Ⅰ)求函数在
处的切线;
(Ⅱ)若函数在
处有最大值,求实数a的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
(I)根据导数的几何意义求切线斜率,从而写出切线的方程;(Ⅱ)利用“先必要,后充分”的方法缩小参数范围,减少分类讨论的情形,并通过导数研究函数的单调性,从而判断并求解函数在给定区间内的最值.
解:(Ⅰ)因为,
则,又有
,
故函数在
处的切线为
.
(Ⅱ)由知函数
的图象过定点
,且
,又因为函数
在
处有最大值,则
,即
.
当时,
在
上恒成立,
在
上单调递增,所以
在
处有最大值,符合题意;
当时,
,令
,则
,
,从而知
在
上单调递增,
上单调递减,
上单调递增,故函数
在
上的最大值为
或
.
又因为,所以
,即
,令
,则
在
上单调递增,且
,可得
,则
.
综上,实数的取值范围为
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练习册系列答案
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【题目】中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系,对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)
平均每天锻炼的时间/分钟 | ||||||
总人数 | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”.
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表;
锻炼不达标 | 锻炼达标 | 合计 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合计 |
并通过计算判断,是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关?
(2)在“锻炼达标”的学生中,按男女用分层抽样方法抽出10人,进行体育锻炼体会交流,
(i)求这10人中,男生、女生各有多少人?
(ii)从参加体会交流的10人中,随机选出2人作重点发言,记这2人中女生的人数为,求
的分布列和数学期望.
参考公式:,其中
.
临界值表
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |