题目内容
【题目】如图,菱形与等边
所在平面互相垂直,
,
,
,
分别是线段
,
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)求点到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析(2).
【解析】
(1)法一:通过构造平行四边形的方法,证得平面
;法二:通过构造面面平行的方法,证得
平面
.
(2)利用等体积法,计算出点到平面
的距离.
(1)法一:如图,取线段的中点
,连接
,
是线段
的中点,
则且
.
在菱形中
为线段
中点,
则且
.
则且
,
故四边形为平行四边形,
所以.
又因为平面
,
平面
,
所以平面
.
法二:如图,取线段中点
,连接
,
,
在中,
,
因为平面
,
平面
,
所以平面
.
在菱形中,
,
因为平面
,
平面
,
所以平面
.
又因为,且
,
平面
,
所以平面平面
.
因为平面
,
所以平面
.
(2)如图,在等边中取
边中点
,连接
,
则,
因为平面平面
且平面
平面
,
所以平面
,
在菱形中,
,
是线段
的中点,
所以.
连接,在
中,
,
在中,
,
在中,
.
设点到平面
的距离为
,
则,即
,
,
,
解得,所以点
到平面
的距离为
.

【题目】在创建“全国卫生文明城”的过程中,环保部门对某市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查,每一位市民仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参加问卷调查的1000人的得分(满分:100分)数据,统计结果如下表所示.
组别 | |||||||
频数 | 25 | 150 | 200 | 250 | 225 | 100 | 50 |
(Ⅰ)已知此次问卷调查的得分服从正态分布
,
近似为这1000人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),请利用正态分布的知识求
;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:
(i)得分不低于的可以获赠2次随机话费,得分低于
的可以获赠1次随机话费;
(ii)每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.现市民甲要参加此次问卷调查,记为该市民参加问卷调查获赠的话费,求
的分布列及数学期望.
赠送的随机话费(单位:元) | 20 | 40 |
概率 |
附:若,则
,
,
.