题目内容
【题目】已知圆的圆心坐标
,直线
:
被圆
截得弦长为
。
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)从圆外一点
向圆引切线,求切线方程。
【答案】(1);(2)
和
.
【解析】试题分析: 设圆
的半径为
,根据圆心坐标写出圆的标准方程,利用点到直线的距离公式求出圆心到直线
的距离即为弦心距,然后根据垂径定理得到其垂足为弦的中点,由弦长的一半,圆心距及半径构成的直角三角形,根据勾股定理列出关于
的方程,求出方程的解即可得到
的值,从而确定圆
的方程;
当切线方程的斜率不存在时,显然得到
为圆的切线;
当切线方程的斜率存在时,设出切线的斜率为,由
的坐标和
写出切线方程,利用点到直线的距离公式求出圆心到所设直线的距离
,根据直线与圆相切,得到
等于圆的半径,列出关于
的方程,求出方程的解即可得到
的值,从而确定出切线的方程,综上,得到所求圆的两条切线方程。
解析:(Ⅰ)设圆的标准方程为:
圆心到直线
的距离:
,
则
圆
的标准方程:
(Ⅱ)①当切线斜率不存在时,设切线: ,此时满足直线与圆相切。
②当切线斜率存在时,设切线: ,即
则圆心到直线
的距离:
解得: ,即
则切线方程为:
综上,切线方程为: 和
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