Question

【题目】如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）当k=2时，求炮的射程；
（2）求炮的最大射程；
（3）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以其中它？请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）∵k=2，y=kx-，可得：y=2x-，y=0，可得x=0，x=8．
炮的射程为：8千米．
（2）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得 kx﹣（1+k2）x2=0．
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．
∴x==≤=10，当且仅当k=1时取等号．
∴炮的最大射程是10千米．
（3）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，使ka﹣（1+k2）a2≥3.2成立，
即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．
由韦达定理满足两根之和大于0，两根之积大于0，
故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0，得a≤6．
此时，k=＞0．
∴当a不超过6时，炮弹可以击中目标．
【解析】（1）通过k=2，化简函数解析式，再利用二次函数求解射程．
（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，用一元二次方程根的判别式求解即可．
（3）炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，使ka﹣（1+k2）a2≥3.2成立，转化为关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．利用判别式，求解即可．