Question

【题目】一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用m（且）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（时）变化的函数关系式近似为，其中．

（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？

（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，4个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2个小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．

Answer 1

【答案】（1）小时（2）m的最小值为1

【解析】

（1）当时，，解时，的取值范围；

（2）由条件可知，当时，血液内药量含量，若药剂有效，需满足恒成立，参变分离求的取值范围.

（1）因为，所以．

当时，由，解得，此时；

当时，由，解得，此时．

综上所述，．

所以若一次服用3个单位的药剂，则有效治疗的时间可达小时．

（2）当时，，

因为对恒成立，

即对恒成立，等价于

令，则函数在上是单调递增函数，

所以当时，函数取得最大值为1，所以，

所以所求m的最小值为1．