题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数f(x)的极值点的个数;
(2)若f(x)有两个极值点,
,证明:
.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
(1)求得函数的导数,
,按
、
、
三种情况分类讨论,得出函数的单调性,进而得出函数的极值;
(2)由(1)知,当时,
极值点
,
是方程
的两根,化简得
,设
,
,利用导数求得函数
的单调性与最值,即可求解.
(1)由题意,函数,
得,
,
(i)若时;
,
当时,
,函数
单调递减;
当时,
,函数
单调递增,
所以当,函数
取得极小值,
是
的一个极小值点;
(ii)若时,则
,即
时,此时
,
在
是减函数,
无极值点,
当时,则
,令
,解得
,
,
当和
时,
,当
时,
,
∴在
取得极小值,在
取得极大值,所以
有两个极值点,
综上可知:(i)时,
仅有一个极值点;(ii).当
时,
无极值点;
(iii)当,
有两个极值点.
(2)由(1)知,当且仅当时,
有极小值点
和极大值点
,
且,
是方程
的两根,∴
,
,
则
,
设,
,则
,
∴时,
是减函数,
,
∴,
∴.
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练习册系列答案
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【题目】为了了解我市特色学校的发展状况,某调查机构得到如下统计数据:
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
特色学校 | 0.30 | 0.60 | 1.00 | 1.40 | 1.70 |
(Ⅰ)根据上表数据,计算与
的相关系数
,并说明
与
的线性相关性强弱(已知:
,则认为
与
线性相关性很强;
,则认为
与
线性相关性一般;
,则认为
与
线性相关性较弱);
(Ⅱ)求关于
的线性回归方程,并预测我市2019年特色学校的个数(精确到个).
参考公式: ,
,
,
,
,
.