Question

12．函数$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（-{x^2}+x）$的单调递减区间是（0，$\frac{1}{2}$），值域为[2，+∞）．

Answer 1

分析 令t=-x²+x＞0，求得函数的定义域，f（x）=g（t）=${log}_{\frac{1}{2}}t$，本题即求函数t在定义域（0，1）上的增区间和值域，再利用二次函数的性质得出结论．

解答 解：令t=-x²+x＞0，求得函数的定义域为（0，1），f（x）=g（t）=${log}_{\frac{1}{2}}t$，
本题即求函数t在定义域（0，1）上的增区间和值域．
∵t=-x²+x 在定义域（0，1）上的增区间为（0，$\frac{1}{2}$），
故函数$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（-{x^2}+x）$的单调递减区间是 $（0，\frac{1}{2}）$．
再根据t=-x²+x=-${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{4}$，可得t在（0，1）上的最大值为$\frac{1}{4}$，t的最小值趋于零，
故f（x）=g（t）=${log}_{\frac{1}{2}}t$∈[2，+∞），
故答案为：（0，$\frac{1}{2}$）、[2，+∞）．

点评 本题主要考查复合函数的单调性，求函数的值域，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．