Question

17．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sinωx+2{cos^2}\frac{ωx}{2}-1（ω＞0）$的最小正周期为π．对于函数f（x），下列说法正确的是（　　）

• A． 在$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$上是增函数
• B． 图象关于直线$x=\frac{5π}{12}$对称
• C． 图象关于点$（-\frac{π}{3}，0）$对称
• D． 把函数f（x）的图象沿x轴向左平移$\frac{π}{6}$个单位，所得函数图象关于y轴对称

Answer 1

分析 利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（$ωx+\frac{π}{6}$），由周期公式可求ω，从而可求函数解析式为f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．利用正弦函数的平移变换规律即可得解D选项正确．

解答 解：∵$f（x）=\sqrt{3}sinωx+2{cos^2}\frac{ωx}{2}-1（ω＞0）$
=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx
=2sin（$ωx+\frac{π}{6}$），
又∵最小正周期为π，即$π=\frac{2π}{ω}$，解得：ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
∴把函数f（x）的图象沿x轴向左平移$\frac{π}{6}$个单位，所得函数解析式为：y=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x．
由余弦函数的图象和性质可得此函数图象关于y轴对称．D正确．
故选：D．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了正弦函数的平移变换规律，属于基本知识的考查．