Question

18．若α∈（0，π），且$\sqrt{2}$cos2α=sin（$\frac{9π}{4}$-α），则sin2α的值为（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． -$\frac{3}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由已知条件利用余弦二倍角公式和正弦加法定理得到2（sinα+cosα）=1，由此能求出sin2α的值．

解答 解：∵α∈（0，π），且$\sqrt{2}$cos2α=sin（$\frac{9π}{4}$-α）=sin（$\frac{π}{4}-α$），
∴$\sqrt{2}cos2α$=sin$\frac{π}{4}$cos$α-cos\frac{π}{4}sinα$=$\frac{\sqrt{2}}{2}（cosα-sinα）$，
∴$\sqrt{2}（co{s}^{2}α-si{n}^{2}α）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}（cosα-sinα）$，
∴2（sinα+cosα）=1，
∴（sinα+cosα）²=$\frac{1}{4}$，
∴1-sin2α=$\frac{1}{4}$，
∴sin2α=$\frac{3}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查二倍角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦二倍角公式和正弦加法定理的合理运用．